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Operaciones en Z

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Bárbula, 21 de julio de 2010

OPERACIONES EN Z.

En el conjunto de los números enteros  están definidas dos operaciones básicas:

La adición y la multiplicación. Estas operaciones satisfacen algunas propiedades, las cuales mencionaremos a continuación.

Cualesquiera que sean a, b, c e Z , se verifican las siguientes propiedades:

ADICIÓN

MULTIPLICACIÓN

 a+b e Z

a.b e Z 

Conmutatividad

 a+b = b+a

a.b = b.a 

Asociatividad

 (a+b) + c = a + (b+c)

(a.b) .c = a. (b.c) 

Elemento neutro o identidad

El número cero es tal que:

El número 1 es tal que:

 a+0 = 0+a = a

a.1 = 1.a = a 

 

Distributiva de la adición con respecto de la adición:

a. (b+c) = a.b + a.c 

 

Observemos que estas mismas propiedades son satisfechas por las operaciones de adición y multiplicación de los números naturales.

 

Para los números enteros hay otra propiedad, denominada existencia del elemento opuesto para la operación adición:

 

Cualquiera que sea a e Z , existe a´ e  Z tal que a´+a = a+a´ =0 . El entero a´  se denomina el  opuesto  de  y se denota -a , por lo tanto (-a) + a = a + (-a) = 0                                   

 

Observa que no se establece para la multiplicación una propiedad análoga a la de la existencia de los elementos opuestos en relación con la adición, puesto que  no es cierto que dado cualquier entero  a exista otro b  entero  tal que a.b = 1.

 

De manera análoga a lo que se dijo con los números naturales, esas propiedades básicas de la adición y multiplicación de números enteros, que a partir de ellas se pueden demostrar otras propiedades y establecer fórmulas, muchas de las cuales te son conocidas y las utilizaremos en lo que sigue. (Escribe alguna de ellas, tal como hicimos con los números naturales).

En  podemos definir una nueva operación, que es la sustracción o diferencia.

 

Llamamos diferencia o resta d  de los números enteros m (minuendo) y s (sustraendo) y lo expresamos.

 

d = m – s,  si y sólo si s + d = m.

 

Como d=m – s = m + (-s) resulta que la diferencia en  es una suma algebraica es decir, la diferencia es la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.

 

 

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